Арифметический аттрактор
К пояснению смысла термина "аттрактор".
В теории динамических систем хорошо известно понятие аттрактора (от английского слова аttract — притягивать). Так, траектория движения конического маятника с трением имеет вид спирали, наматывающейся на точку равновесия. Эта точка как бы «притягивает» к себе все траектории движения, из каких бы точек они ни исходили. При изменении параметров динамической системы обычно меняется число аттракторов и их вид. Подобные явления называются бифуркациями.
Любопытные «эксперименты» с натуральными числами показали, что можно построить примеры, в которых проявляются аналоги понятий аттрактора и бифуркаций. Возьмем любое двузначное натуральное число а (например, а = 27 или а = 65). Поменяв между собой цифры этого числа, получим число а*, которое назовем инверсным к а (для первого примера а*= 72, для второго а*= 56). Далее поступим следующим образом. Найдем разность Ь этих чисел (из большего вычтем меньшее). Для первого примера Ь = а - а* — 72 - 27 = 45, для второго разность — число однозначное, и мы дополняем его до двузначного добавлением нуля впереди: Ь = а - а - 65 - 56 = 09. Рассмотрим теперь сумму полученного числа и инверсного ему Ь + Ь* (для наших примеров Ь + Ь* = 45 + 54 = 99 и Ь + Ь* = 09 + 90 = 99). Можно убедиться, что вышеприведенная последовательность действий с любым двузначным числом приводит к 99 или 0 (в случае одинаковых цифр), как бы «притягивающим числам», исполняющим роль своеобразных аттракторов.
Посмотрим теперь, что будет происходить, если те же действия провести с трехзначными числами. Непосредственным перебором убеждаемся, что для трехзначных чисел аттракторов также будет два. Для «симметричных» чисел типа 333,121 и подобных им получается 0, а для всех прочих — 1089 (если результат первой операции — двузначное число, оно дополнятся спереди нулем до трехзначного: а = 221, а = 122, Ь = а-а*=* 221 - 122 = 099, Ь + Ь* = 099 + 990 = 1089). А вот для четырехзначных чисел при тех же действиях (с учетом аналогичного дополнения при необходимости впереди результата первой операции нуля) аттракторов будет уже пять — 0, 990, 9999, 10 890,10 989, то есть происходит своеобразная бифуркация. Продолжая «эксперименты» с увеличением числа цифр (перебор осуществляется с помощью несложной компьютерной программы), определим соответствующее количество аттракторов. Для натуральных чисел с количеством цифр от одного до одиннадцати получаются интересные результаты, представленные в таблице:
Из таблицы видна закономерность появления бифуркаций: увеличение числа аттракторов происходит с увеличением числа цифр на два. Число же аттракторов растет достаточно стремительно, в очередной раз подтверждая высказывание одного из основателей кибернетики Уильяма Росса Эшби: «Многообразие регулируется многообразием».
Наблюдается и еще одна любопытная закономерность. Числа в правой колонке таблицы удивительным образом связаны с числами Фибоначчи:
0. I, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144 ... то есть число аттракторов совпадает с четными номерами первых членов ряда Фибоначчи. Разумеется, это наблюдение не служит доказательством справедливости данного факта для всего бесконечного ряда. Возможно, кто-то из читателей сумеет доказать математически справедливость этой гипотезы или же ее опровергнуть.
Из журнала "Наука и жизнь".
В теории динамических систем хорошо известно понятие аттрактора (от английского слова аttract — притягивать). Так, траектория движения конического маятника с трением имеет вид спирали, наматывающейся на точку равновесия. Эта точка как бы «притягивает» к себе все траектории движения, из каких бы точек они ни исходили. При изменении параметров динамической системы обычно меняется число аттракторов и их вид. Подобные явления называются бифуркациями.
Любопытные «эксперименты» с натуральными числами показали, что можно построить примеры, в которых проявляются аналоги понятий аттрактора и бифуркаций. Возьмем любое двузначное натуральное число а (например, а = 27 или а = 65). Поменяв между собой цифры этого числа, получим число а*, которое назовем инверсным к а (для первого примера а*= 72, для второго а*= 56). Далее поступим следующим образом. Найдем разность Ь этих чисел (из большего вычтем меньшее). Для первого примера Ь = а - а* — 72 - 27 = 45, для второго разность — число однозначное, и мы дополняем его до двузначного добавлением нуля впереди: Ь = а - а - 65 - 56 = 09. Рассмотрим теперь сумму полученного числа и инверсного ему Ь + Ь* (для наших примеров Ь + Ь* = 45 + 54 = 99 и Ь + Ь* = 09 + 90 = 99). Можно убедиться, что вышеприведенная последовательность действий с любым двузначным числом приводит к 99 или 0 (в случае одинаковых цифр), как бы «притягивающим числам», исполняющим роль своеобразных аттракторов.
Посмотрим теперь, что будет происходить, если те же действия провести с трехзначными числами. Непосредственным перебором убеждаемся, что для трехзначных чисел аттракторов также будет два. Для «симметричных» чисел типа 333,121 и подобных им получается 0, а для всех прочих — 1089 (если результат первой операции — двузначное число, оно дополнятся спереди нулем до трехзначного: а = 221, а = 122, Ь = а-а*=* 221 - 122 = 099, Ь + Ь* = 099 + 990 = 1089). А вот для четырехзначных чисел при тех же действиях (с учетом аналогичного дополнения при необходимости впереди результата первой операции нуля) аттракторов будет уже пять — 0, 990, 9999, 10 890,10 989, то есть происходит своеобразная бифуркация. Продолжая «эксперименты» с увеличением числа цифр (перебор осуществляется с помощью несложной компьютерной программы), определим соответствующее количество аттракторов. Для натуральных чисел с количеством цифр от одного до одиннадцати получаются интересные результаты, представленные в таблице:
Из таблицы видна закономерность появления бифуркаций: увеличение числа аттракторов происходит с увеличением числа цифр на два. Число же аттракторов растет достаточно стремительно, в очередной раз подтверждая высказывание одного из основателей кибернетики Уильяма Росса Эшби: «Многообразие регулируется многообразием».
Наблюдается и еще одна любопытная закономерность. Числа в правой колонке таблицы удивительным образом связаны с числами Фибоначчи:
0. I, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144 ... то есть число аттракторов совпадает с четными номерами первых членов ряда Фибоначчи. Разумеется, это наблюдение не служит доказательством справедливости данного факта для всего бесконечного ряда. Возможно, кто-то из читателей сумеет доказать математически справедливость этой гипотезы или же ее опровергнуть.
Из журнала "Наука и жизнь".